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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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7. Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
o) f(x)=x−2−5ln⁡(x−2)f(x)=\sqrt{x-2}-5 \ln (x-2)

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones. 1) Identificamos el dominio de f(x)f(x) Teniendo en cuenta las restricciones que presenta, el dominio va de (2,+∞)(2,+\infty) 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Veamos el comportamiento cuando xx tiende a 22 por derecha, para ver si tenemos o no asíntota vertical:

lim⁡x→2+x−2−5ln⁡(x−2)=+∞\lim_{x \to 2^+} \sqrt{x-2}-5 \ln (x-2) = +\infty

No te olvides que ln⁡(0+)=−∞\ln(0^+) = -\infty y después regla de signos!

Por lo tanto, en x=2x = 2 tenemos una asíntota vertical.
  - Asíntotas horizontales: Tomamos el límite cuando xx tiende a +∞+\infty
lim⁡x→+∞x−2−5ln⁡(x−2)\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x-2}-5 \ln (x-2)

Ojo acá, regla de signos y esto te queda un "infinito menos infinito". Sacamos factor común algo para forzar a que nos aparezca un cociente que sepamos resolver por L'Hopital. Por ejemplo, si sacás factor común ln⁡(x−2)\ln(x-2) te queda:

lim⁡x→+∞ln⁡(x−2)⋅(x−2ln⁡(x−2)−5)\lim_{x \to +\infty} \ln (x-2) \cdot ( \frac{\sqrt{x-2}}{\ln(x-2)} - 5)

Ahora adentro del paréntesis nos quedó un cociente con una indeterminación infinito sobre infinito, esta de acá:

lim⁡x→+∞x−2ln⁡(x−2)\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x-2}}{\ln(x-2)}

Aplicamos L'Hopital:

lim⁡x→+∞12x−21x−2=12x−2⋅(x−2)=12⋅x−2=+∞\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x-2}}}{\frac{1}{x-2}} = \frac{1}{2\sqrt{x-2}} \cdot (x-2) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x-2} = + \infty

Entonces, volviendo a nuestro límite:

lim⁡x→+∞ln⁡(x−2)⋅(x−2ln⁡(x−2)−5)=+∞\lim_{x \to +\infty} \ln (x-2) \cdot ( \frac{\sqrt{x-2}}{\ln(x-2)} - 5) = +\infty

Por lo tanto, ff no tiene asíntota horizontal.
  3) Calculamos f′(x)f'(x):

f′(x)=12x−2−5x−2 f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-2}} - \frac{5}{x-2}   4) Igualamos f′(x)f'(x) a cero para encontrar los puntos críticos:

12x−2−5x−2 =0\frac{1}{2\sqrt{x-2}} - \frac{5}{x-2}  = 0

Paso uno de los términos para el otro lado:

12x−2=5x−2\frac{1}{2\sqrt{x-2}} = \frac{5}{x-2}  

Paso multiplicando el x−2x-2 del denominador:

x−22x−2=5\frac{x-2}{2\sqrt{x-2}} = 5  

Usando reglas de potencias:

x−22=5\frac{\sqrt{x-2}}{2} = 5  

x−2=10\sqrt{x-2} = 10

Elevo al cuadrado ambos miembros

x−2=100x-2 = 100 (sólo me estoy quedando con la solución positiva, porque x−2x-2 es mayor a cero siempre)

x=102x = 102

Por lo tanto x=102x=102 es nuestro punto crítico
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

a) 2<x<1022 < x < 102 b) x>102x > 102  6) Evaluamos el signo de f′(x)f'(x) en cada uno de los intervalos: a) Para 2<x<1022 < x < 102 f′(x)<0f'(x) < 0. En este intervalo, ff es decreciente. b) Para x>102x > 102 f′(x)>0f'(x) > 0. En este intervalo, ff es creciente. Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra:

2024-04-20%2008:46:08_9673052.png
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Benjamin
21 de mayo 16:15
como el 1/2*(raiz de x-2)  *  (x-2) te termino quedando asi como lo pusiste al final?
0 Responder
Flor
PROFE
21 de mayo 20:04
@Benjamin Te referis a esta parte?

12x−2=5x−2\frac{1}{2\sqrt{x-2}} = \frac{5}{x-2}  

Paso multiplicando el x−2x-2 del denominador:

x−22x−2=5\frac{x-2}{2\sqrt{x-2}} = 5  

Y acá uso reglas de potencias, porque tenés así:

(x−2)12⋅(x−2)1/2=5\frac{(x-2)^1}{2\cdot (x-2)^{1/2}} = 5  

Se restan los exponentes y te queda (x−2)1/2(x-2)^{1/2}, por eso en el siguiente paso ya tenés:

x−22=5\frac{\sqrt{x-2}}{2} = 5  
0 Responder
Benjamin
22 de mayo 8:32
ee nono, es en la parte de asintotas  horizontales, pero creo que tambien es la misma logica, porque te queda el x-2, sobre 2*(raiz de x-2).

A todo eso lo pensas como resta de exponentes, 1-1/2= 1/2.
Entonces quedaria raiz de x-2, sobre 2, y al 2 no se como lo pasas arriba igual, creo que esa seria otra duda. Espero que se entienda
0 Responder
Benjamin
21 de mayo 15:59
una consulta, la raiz de x-2, la x tiene que ser mayor o igual a 2, pero en el ln(x-2), aca el x tiene que ser mayor estricto que 2. Entonces, el dominio de el ln tiene mas peso que el de la raiz? o como seria ahi
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Flor
PROFE
21 de mayo 20:00
@Benjamin Cuando es así sumas las restricciones... O sea, la raíz no tendría problema que le metas un x=2x=2, pero adentro del logaritmo no lo podés poner, entonces por eso el dominio si o si tiene que ser (2,+∞)(2, +\infty)

Vos tenés que asegurarte que el dominio de la función incluya a todos los xx que no tengan problemas en ninguna parte de la función. 
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Benjamin
22 de mayo 8:24
ahhh bien bien
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